Två intilliggande vinklar på en rät linje. Deras summa är 180°.

Motstående vinklar när två linjer skär varandra. De är lika stora.

Vinklar i samma relativa läge när en transversal skär två parallella linjer. De är lika stora.

Vinklar på varsin sida om transversalen, vanligtvis mellan parallella linjer. De är lika stora.

Två vinklar som ligger intill varandra på en rät linje och därför har summan 180°.

En linje som skär två eller flera andra linjer.

En vinkel utanför en polygon som bildas när en sida förlängs.

Vinkelsatser och geometrisk argumentation — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: Vilket alternativ är korrekt?

117°. Den tredje inre vinkeln är `180° - 38° - 79° = 63°`. Yttervinkeln är sidovinkel till 63°, alltså `180° - 63° = 117°`. Den kan också beräknas direkt som summan av de två avlägsna inre vinklarna: `38° + 79° = 117°`.

1. Lita på satser, inte på ritningen

Ritningen är inte ett bevis

En figur kan vara missvisande. Anta inte att en vinkel är 90° eller att linjer är parallella bara för att de ser ut så. Använd bara givna uppgifter och geometriska satser.

Sidovinklar

Sidovinklar ligger bredvid varandra när en rät linje delas av en annan linje. De bildar en rak vinkel och har därför summan `180°`.

Vertikalvinklar

Vertikalvinklar ligger mitt emot varandra vid en skärningspunkt och är lika stora. Är en vinkel 68°, är motstående vinkel också 68°.

Motivera varje led

Skriv exempelvis `v = 180° - 68° = 112° (sidovinklar)`. Beräkningen visar vad du får, och motiveringen visar varför du får det.

2. Triangelns vinkelsumma

Grundsatsen

I alla trianglar gäller `A + B + C = 180°`. Satsen gäller oavsett hur triangeln ser ut: rätvinklig, trubbvinklig eller spetsvinklig.

Beräkna en okänd vinkel

Om två vinklar är 47° och 81° blir den tredje `180° - 47° - 81° = 52°`. Subtrahera alltså summan av de kända vinklarna från 180°.

Yttervinkel

En yttervinkel uppstår när en sida förlängs. Den och den närliggande inre vinkeln är sidovinklar och har summan 180°.

En snabb genväg

En yttervinkel är summan av de två inre vinklar som inte ligger intill den. Vid 35° och 72° blir yttervinkeln `35° + 72° = 107°`.

3. Exempel: följ vinkelkedjan i en triangel

Situationen

I triangeln `ABC` är `∠A = 54°`. Vid B är en sida förlängd och yttervinkeln är 123°. Vi söker de inre vinklarna `∠B` och `∠C`.

Steg 1: sidovinklar

Yttervinkeln 123° och `∠B` ligger på en rät linje: `∠B = 180° - 123° = 57°`. Motivering: sidovinklar har summan 180°.

Steg 2: triangeln

Nu är två inre vinklar kända: `∠C = 180° - 54° - 57° = 69°`. Motivering: triangelns vinkelsumma är 180°.

Kontrollera

`54° + 57° + 69° = 180°`. Du kan också kontrollera yttervinkeln: `54° + 69° = 123°`. Två kontroller stärker lösningen.

4. Månghörningar och vinkelsummor

Formeln

En månghörning med `n` hörn har vinkelsumman `(n - 2) · 180°`. En fyrhörning får alltså 360°, medan en femhörning får 540°.

Varför fungerar den?

Från ett hörn kan du dela en månghörning i trianglar. Antalet trianglar är `n - 2`, och varje triangel har vinkelsumman 180°.

Regelbunden månghörning

I en regelbunden månghörning är alla inre vinklar lika stora. Femhörning: `540° / 5 = 108°` per inre vinkel.

Yttre vinklar

En yttervinkel vid varje hörn, tagen i samma riktning runt en enkel månghörning, har alltid totalsumman 360°. Det är inte samma sak som inre vinkelsumman.

5. Parallella linjer och transversalvinklar

Förutsättningen är avgörande

En transversal skär två linjer. De särskilda vinkelrelationerna får användas först när linjerna är parallella, alltså när `l ∥ m` är givet eller bevisat.

Likbelägna och alternatvinklar

Likbelägna vinklar är lika stora. Alternatvinklar är också lika stora. Om en sådan vinkel är 74°, är dess motsvarande vinkel 74°.

Invändiga vinklar på samma sida

Två invändiga vinklar på samma sida om transversalen är supplementvinklar: deras summa är 180°. Till 74° hör alltså `180° - 74° = 106°`.

Skriv villkoret

En komplett motivering kan vara `x = 74° (alternatvinklar, eftersom l ∥ m)`. Parallelliteten är en del av argumentet, inte en detalj.

6. Tankepaus: identifiera satsen

Välj rätt relation innan du räknar

Föreställ dig två parallella horisontella linjer som skärs av en sned linje från övre vänster till nedre höger.

En vinkel är 63° vid den övre skärningspunkten. Vilken sats använder du för vinkeln i samma relativa hörnläge vid den nedre skärningspunkten?
Vilken sats använder du för vinkeln mitt emot 63° vid samma skärningspunkt?
Vilken beräkning använder du för vinkeln som ligger intill 63° på en rät linje?

Svara först utan att räkna på nästa rad.

1: Likbelägna vinklar, alltså 63°.
2: Vertikalvinklar, alltså 63°.
3: Sidovinklar, alltså `180° - 63° = 117°`.

Nyckeln är att först avgöra vilken geometrisk relation du ser. Först därefter sätter du in tal. Den strategin fungerar även när en figur har många vinklar och bokstäver.

7. Så skriver du ett geometriskt resonemang

Från svar till argumentation

Ett matematiskt resonemang ska gå att följa även av någon som inte har tänkt som du. Varje nytt värde behöver bygga på antingen en uppgift i frågan, en tidigare slutsats eller en sats.

En praktisk struktur är:

Skriv vinkeln eller uttrycket du vill bestämma.
Visa beräkningen.
Skriv motiveringen i parentes.
Använd resultatet i nästa led.

Exempel:

`a = 180° - 116° = 64° (sidovinklar)`

`b = 64° (vertikalvinklar)`

`c = 180° - 64° - 48° = 68° (triangelns vinkelsumma)`

Undvik formuleringen

8. Snabbquiz: triangel och yttervinkel

En triangel har två inre vinklar som är 38° och 79°. En sida vid den tredje vinkeln förlängs. Hur stor är yttervinkeln där?

Vilket alternativ är korrekt?

63°
117°
180°
243°

Show Answer

Answer: B) 117°

Den tredje inre vinkeln är `180° - 38° - 79° = 63°`. Yttervinkeln är sidovinkel till 63°, alltså `180° - 63° = 117°`. Den kan också beräknas direkt som summan av de två avlägsna inre vinklarna: `38° + 79° = 117°`.

9. Sammanhängande provuppgift

Läs av relationerna

Här är `l ∥ m`. En vinkel vid den övre linjen är 112°. En alternatvinkel vid den nedre linjen blir därför också 112°.

Hitta triangelns vinkel

Triangelns vinkel ligger intill 112° på en rät linje. Alltså är den `180° - 112° = 68°`. Motivering: sidovinklar.

Avsluta med triangeln

Den tredje vinkeln blir `180° - 68° - 31° = 81°`. Motivering: triangelns inre vinklar har summan 180°.

Vanlig fälla

Använd inte automatiskt den första vinkeln du ser i triangelsumman. Kontrollera att vinkeln faktiskt är en inre vinkel i just den triangeln.

10. Begreppskort

Vänd korten och säg gärna satsen högt innan du läser svaret. Koppla varje begrepp till en tydlig figur i ditt huvud.

Sidovinklar: Två intilliggande vinklar på en rät linje. Deras summa är 180°.
Vertikalvinklar: Motstående vinklar när två linjer skär varandra. De är lika stora.
Likbelägna vinklar: Vinklar i samma relativa läge när en transversal skär två parallella linjer. De är lika stora.
Alternatvinklar: Vinklar på varsin sida om transversalen, vanligtvis mellan parallella linjer. De är lika stora.
Triangelns vinkelsumma: De tre inre vinklarna i en triangel har tillsammans 180°.
Månghörnings vinkelsumma: För en månghörning med n hörn: `(n - 2) · 180°`.
Geometrisk motivering: En sats eller given uppgift som förklarar varför ett beräkningssteg är giltigt.

11. Slutquiz: välj ett hållbart resonemang

Två parallella linjer skärs av en transversal. En av de spetsiga vinklarna är 52°. En triangel använder den intilliggande vinkeln vid den andra skärningspunkten samt en vinkel på 47°. Hur stor är triangelns tredje vinkel?

Vilken lösning är korrekt motiverad?

`180° - 52° - 47° = 81°`, eftersom alla vinklar vid parallella linjer är lika stora.
`180° - 52° = 128°` (sidovinklar), sedan `180° - 128° - 47° = 5°` (triangelns vinkelsumma).
`52° + 47° = 99°`, eftersom vertikalvinklar alltid adderas.
`360° - 52° - 47° = 261°`, eftersom vinklarna finns i samma figur.