Flerstegsförsök, simuleringar och risk

Flera steg ger fler utfall

Ett flerstegsförsök har minst två slumpsteg. Ett fullständigt utfall ska beskriva alla steg, ofta även deras ordning.

Två myntkast ger `KK`, `KS`, `SK`, `SS`. Utfallet `KS` skiljer sig från `SK`, eftersom första och andra kastet har bytt plats.

Räkna kombinationer

Har steg 1 `a` möjligheter och steg 2 `b` möjligheter finns `a · b` kombinationer. Två tärningskast ger `6 · 6 = 36` utfall.

Huvudregel

Följ en bestämd väg: multiplicera sannolikheter. Finns flera gynnsamma vägar: addera deras sannolikheter.

Trädets struktur

Rita från vänster till höger. Varje gren visar ett möjligt resultat i ett steg och märks med sin sannolikhet.

Med 3 röda och 2 blå kulor, med återläggning, är första grenarna `R: 3/5` och `B: 2/5`. Andra dragningen får samma grenar.

En väg

Först röd, sedan blå är vägen `R → B`: `3/5 · 2/5 = 6/25`. Multiplicera längs just den vägen.

Flera vägar

En röd och en blå kan bli `R → B` eller `B → R`. Addera vägarna: `6/25 + 6/25 = 12/25`.

Provfälla: räkna inte bara en ordning när frågan säger "en av varje". Avgör först vilka slutgrenar som är gynnsamma.

Uppgift

Två tärningskast ger `6 · 6 = 36` lika sannolika, ordnade utfall. Vi söker de utfall där summan är 8.

Gynnsamma utfall: `(2,6)`, `(3,5)`, `(4,4)`, `(5,3)` och `(6,2)`. Det finns alltså 5 gynnsamma utfall.

Beräkning

`P(summa 8) = 5/36 ≈ 0,139 = 13,9 %`. Varje enskild väg har sannolikheten `1/6 · 1/6 = 1/36`.

Kontrollera svaret

Summan 7 har sex vägar och är vanligare. Summan 2 har bara vägen `(1,1)` och är ovanligare. Svaret `5/36` är rimligt.

Oberoende

Oberoende händelser påverkar inte varandra. Två tärningskast är oberoende: chansen för sexa i kast två är alltid `1/6`.

Återläggning gör ofta dragningar oberoende. Med 4 gröna och 1 gul blir två gröna med återläggning `4/5 · 4/5 = 16/25`.

Beroende

Beroende händelser uppstår när första resultatet förändrar steg två. Utan återläggning finns färre kulor kvar.

Efter en grön kula återstår 3 gröna av 4 kulor. Två gröna utan återläggning blir `4/5 · 3/4 = 3/5`.

Kontrollfråga

Förändras situationen efter första steget? Om ja, uppdatera grenarnas sannolikheter. Använd inte automatiskt samma nämnare igen.

Uppgift

Av 7 elever spelar 4 fotboll och 3 inte fotboll. Två väljs utan återläggning. Sök sannolikheten för minst en fotbollsspelare.

Välj komplementet

Komplementet till "minst en spelar fotboll" är "ingen spelar fotboll". Den händelsen består av bara en väg.

`P(ingen fotboll) = 3/7 · 2/6 = 1/7`. Nämnare och täljare ändras efter första valet eftersom ingen återläggning sker.

Slutsats

`P(minst en fotboll) = 1 - 1/7 = 6/7 ≈ 85,7 %`. För uttryck som "minst en" är komplementet ofta smartast.

Definition

Komplementhändelsen till `A` är allt som inte är `A`. Tillsammans täcker `A` och `inte A` hela utfallsrummet.

Regeln är `P(A) = 1 - P(inte A)`. Sannolikheterna för en händelse och dess komplement summerar alltid till 1.

När passar metoden?

Sök efter ord som minst en, åtminstone en och inte någon. Det motsatta kan ofta beskrivas med bara en väg.

Tre omgångar med vinstchans 20 %: `P(noll vinster)=0,8³=0,512`. Alltså är minst en vinst `1-0,512=48,8 %`.

Undvik fällan

`0,2 · 3` dubbelräknar utfall med flera vinster. Komplementmetoden räknar varje möjligt utfall exakt en gång.

Simulering

En datorsimulering upprepar ett slumpförsök många gånger enligt en modell. Den kan uppskatta sannolikheter när exakta beräkningar är svåra.

Efter många försök används relativ frekvens: `antal lyckade / antal försök`. Den närmar sig ofta den teoretiska sannolikheten.

10 000 simuleringar kan ge `0,503` trots att exakt sannolikhet är `0,5`. Olika körningar varierar på grund av slumpen.

Granska modellen

Fler körningar minskar ofta slumpvariation, men rätt svar kräver också en rimlig modell. Fråga vilka antaganden som gjorts och vad som saknas.

Risk är mer än chans

En riskbedömning behöver väga samman sannolikhet, osäkerhet och konsekvens. En sällsynt händelse kan ändå vara viktig om följden är allvarlig.

Simulerat resultat

838 vinster på 5 000 omgångar ger `838/5 000 = 0,1676 ≈ 16,8 %`. Det är en uppskattad vinstchans.

Kontroll med teori

Summorna 10, 11 och 12 har `3+2+1=6` utfall av 36. Exakt chans är `6/36=1/6≈16,7 %`, nära simuleringen.

Förväntad vinst

Före avgiften blir den genomsnittliga vinsten ungefär `0,167 · 50 kr = 8,35 kr` per spelomgång.

Riskbedömning

Efter kostnaden 10 kr är nettot cirka `8,35-10=-1,65 kr`. Enskilda vinster är möjliga, men spelet är ofördelaktigt på lång sikt.