SkarpChapter 15 of 30
Omkrets och area i plana figurer
Två figurer kan ha samma omkrets men helt olika area. Genom uppdelning och sammansättning härleds formler som fungerar även när figuren inte är en vanlig rektangel eller triangel.
1. Två mått med olika innebörd
Två olika frågor
Omkrets är längden runt figurens kant och mäts i exempelvis `cm`. Area är ytan inuti figuren och mäts i exempelvis `cm²`. Enheterna avslöjar ofta vilket mått som efterfrågas.
Samma omkrets, olika area
Rektangeln `1 cm × 9 cm` har omkretsen `20 cm` och arean `9 cm²`. Kvadraten med sidan `5 cm` har också omkretsen `20 cm`, men arean `25 cm²`.
Tolka situationen
Staket, ram och list pekar på omkrets. Färg, matta, gräs och golv pekar på area. Skriv alltid en enhet: längdenhet för omkrets och kvadratenhet för area.
2. Rektangel och parallellogram
Rektangel
En rektangel kan delas in i lika stora rutor. Därför är area `A = l · b`. Omkretsen är summan av alla sidor: `O = 2l + 2b = 2(l + b)`.
Flytta utan att ändra area
I ett parallellogram kan en triangel vid ena kanten flyttas till den andra. Då bildas en rektangel med samma bas och samma vinkelräta höjd. Ytan är oförändrad.
Parallellogrammens formel
För parallellogram gäller `A = b · h`. Höjden `h` måste vara vinkelrät mot basen. En sned sida är inte automatiskt en höjd. Om `b = 8` och `h = 3` blir `A = 24 cm²`.
3. Triangel och trapets genom uppdelning
Triangel är halva parallellogrammen
Två likadana trianglar kan sättas ihop till ett parallellogram. Därför är triangelns area hälften av `b · h`: `A = (b · h)/2`. Höjden ska alltid vara vinkelrät mot basen.
Räkneexempel: triangel
Med `b = 12 cm` och `h = 7 cm` blir `A = (12 · 7)/2 = 42 cm²`. I en trubbvinklig triangel kan höjden ligga utanför figuren, men formeln gäller ändå.
Trapets
För trapetsen är de parallella sidorna `a` och `b`: `A = ((a + b) · h)/2`. Om `a = 10`, `b = 6` och `h = 4` blir arean `32 cm²`. Sneda sidor används inte här.
4. Cirkelns omkrets och area
Radie och diameter
Radien `r` går från centrum till randen. Diametern `d` går genom centrum och är dubbelt så lång: `d = 2r`. Kontrollera alltid om uppgiften ger radie eller diameter.
Omkrets och area
Cirkelns omkrets är `O = πd` eller `O = 2πr`. Cirkelns area är `A = πr²`. I areaformeln ska radien, inte diametern, kvadreras.
Exempel med diameter
Om `d = 10 cm` är `r = 5 cm`. Omkretsen blir ungefär `31,4 cm` och arean ungefär `78,5 cm²`. Behåll gärna `π` i beräkningen och avrunda på slutet.
5. Sammansatta figurer: dela upp eller ta bort
Två säkra metoder
För area i en sammansatt figur kan du dela upp och addera delareor, eller ta en stor omslutande figur och subtrahera bort delar. Välj den metod som ger få och tydliga beräkningar.
L-formens area
En rektangel `10 × 8` med ett borttaget hörn `4 × 3` får arean `10 · 8 - 4 · 3 = 68 cm²`. Den borttagna delen ska subtraheras en gång, inte dubbelt.
Omkrets kräver en kontur
Följ den synliga ytterkanten med en pil och addera alla kantbitar. Hjälplinjer inuti figuren räknas inte. Kanter runt ett hål räknas däremot som en del av omkretsen.
6. Tänk som en formelhärledare
Aktiv uppgift: försvara en formel
En parallellogram har basen `b` och höjden `h`.
- Föreställ dig att du klipper loss den vänstra triangeln längs en lodrät höjdlinje.
- Flytta triangeln till parallellogrammens högra sida.
- Vilken figur har du nu skapat?
- Vilka mått är oförändrade efter flytten?
- Skriv ett argument med en eller två meningar för varför parallellogrammens area är `b · h`.
Jämför sedan med en triangel: Om två identiska trianglar tillsammans fyller parallellogrammen, hur stor del av parallellogrammens area har en triangel?
Självkontroll: Du bör komma fram till att flytten skapar en rektangel. Basen och den vinkelräta höjden är desamma, och inga delar försvinner eller överlappar. Därför har parallellogrammen samma area som rektangeln: `b · h`. En av två likadana trianglar har hälften av den arean: `(b · h)/2`.
Detta är ett starkare svar än att bara hänvisa till en formel: du förklarar varför formeln är giltig.
7. Snabbkontroll: höjd eller sned sida?
Välj det alternativ som använder rätt mått för parallellogrammens area.
En parallellogram har basen 9 cm, en sned sida 7 cm och en vinkelrät höjd 4 cm. Vilken är arean?
- 28 cm²
- 36 cm²
- 63 cm²
- 72 cm²
Show Answer
Answer: B) 36 cm²
Arean beräknas med bas gånger vinkelrät höjd: `9 · 4 = 36 cm²`. Den sneda sidan 7 cm kan behövas för omkretsen, men inte för arean.
8. Begrepp att kunna direkt
Vänd korten och säg först svaret högt eller skriv det utan att titta. Koppla varje formel till vilken typ av mått som används.
- Omkrets
- Den sammanlagda längden runt en figurs kant. Enhet: exempelvis `cm` eller `m`.
- Area
- Storleken på ytan inuti en plan figur. Enhet: exempelvis `cm²` eller `m²`.
- Vinkelrät höjd
- Det kortaste avståndet från en bas till motstående sida eller hörn, mätt i 90 graders vinkel.
- Rektangel och parallellogram
- Area: `A = b · h`. I en rektangel kan höjden vara bredden.
- Triangel och trapets
- Triangel: `A = (b · h)/2`. Trapets: `A = ((a + b) · h)/2`, där `a` och `b` är parallella sidor.
- Cirkel
- Diameter: `d = 2r`. Omkrets: `O = 2πr = πd`. Area: `A = πr²`.
9. Fullständig tillämpning: uteplats med rund rabatt
Identifiera delarna
Uteplatsen är en rektangel och rabatten är en cirkel. Eftersom rabatten är ett hål i den belagda ytan beräknas plattornas area som rektangelns area minus cirkelns area.
Beräkna beläggningsytan
`A_rektangel = 8,0 · 5,0 = 40,0 m²`. Rabattens area är `π · 1,0² ≈ 3,14 m²`. Plattorna ska täcka `40,0 - 3,14 = 36,86 m²`.
Olika kanter ger olika svar
Kantlist runt ytterkanten kräver rektangelns omkrets: `2(8,0 + 5,0) = 26,0 m`. En list runt rabatten hade i stället krävt cirkelns omkrets, cirka `6,28 m`.
10. Välj rätt strategi
Testa om du kan skilja mellan omkrets, area och rätt cirkelmått.
En cirkelformad damm har diametern 6 m. Vilket uttryck ger dammens area?
- `π · 6²`
- `2π · 6`
- `π · 3²`
- `π · 6`
Show Answer
Answer: C) `π · 3²`
Diametern är 6 m, så radien är `6/2 = 3 m`. Cirkelarea är `A = πr²`, alltså `π · 3² = 9π m²`. Alternativet `2π · 6` är en omkretsformel och använder dessutom diametern där radien behövs.
11. Provstrategi: från figur till motiverat svar
Arbetsgång
Avgör först om du söker area eller omkrets. Märk ut längder, räkna fram saknade mått och dela sedan upp figuren eller subtrahera från en större figur. Kontrollera att höjden är vinkelrät.
Rimlighetskontroll
En delarea kan inte vara större än sin omslutande figur. Ett urtag minskar area, men omkretsen måste undersökas kant för kant. Avrunda sist och skriv rätt enhet i svaret.
Visa varför
Motivera med uppdelning eller omflyttning: samma delar, samma bas och samma vinkelräta höjd ger samma area. Ta sedan Skarps diagnostiska test för att rikta din fortsatta repetition.
Key Terms
- pi
- Konstanten `π`, ungefär 3,14, som används i beräkningar med cirklar.
- bas
- En vald sida eller sträcka som används som utgångspunkt i en areaformel.
- area
- Måttet på en plan figurs yta, uttryckt i kvadratenheter.
- radie
- Avståndet från en cirkels centrum till cirkelns rand.
- omkrets
- Den sammanlagda längden runt en figurs kant.
- trapets
- En fyrhörning med ett par parallella sidor.
- diameter
- En sträcka genom cirkelns centrum mellan två punkter på randen; den är dubbla radien.
- parallellogram
- En fyrhörning där båda paren av motstående sidor är parallella.
- sammansatt figur
- En figur som kan delas in i, eller byggas av, flera enklare geometriska figurer.
- vinkelrät höjd
- Avståndet till basen mätt i 90 graders vinkel.