Termer med exakt samma variabeldel, till exempel `3x` och `-5x`. Deras koefficienter kan adderas eller subtraheras.

Talet som multipliceras med variabeln. I `-7x` är koefficienten `-7`.

Använd den distributiva lagen för att ta bort en parentes, exempelvis `4(x - 2) = 4x - 8`.

En del av ett uttryck som avgränsas av plus- eller minustecken.

Att skriva en summa eller differens som en produkt med en gemensam faktor.

Tal som multiplicerar en variabel, exempelvis `-4` i `-4x`.

Förenkling, parenteser och algebraiska lagar — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: Vad är den förenklade formen av `3x - (2x - 6) + 4`?

`x + 10`. Minus framför parentes byter båda tecknen: `3x - 2x + 6 + 4`. Därefter är `3x - 2x = x` och `6 + 4 = 10`, alltså `x + 10`.

Q: Vilket uttryck är likvärdigt med `2(3y + 4) - 3(y - 2) - y`?

`2y + 20`. Multiplicera in: `2(3y + 4) - 3(y - 2) - y = 6y + 8 - 3y + 6 - y`. Samla sedan `y`-termerna: `6y - 3y - y = 2y`, och konstanterna: `8 + 6 = 14`. Vänta: detta ger `2y + 14`, vilket saknas bland alternativen. Alltså är inget av alternativen korrekt. Ett säkert arbetssätt är att lita på dina mellanled, inte på att ett svarsalternativ måste stämma.

1. Se strukturen innan du räknar

Termer

Ett uttryck som `4x - 3 + 2x` består av termer: `4x`, `-3` och `2x`. Plus- och minustecken delar upp uttrycket i termer. Ett minustecken hör till termen efter det.

Vilka är liknande?

Liknande termer har samma variabeldel. `4x` och `2x` kan samlas. `4x` och `4x²` kan inte samlas, eftersom `x` och `x²` är olika typer av termer.

Samla koefficienter

I `4x - 3 + 2x` samlar du `x`-termerna: `4x + 2x = 6x`. Konstanten blir kvar, så resultatet är `6x - 3`. Förenkling ändrar formen, inte värdet.

2. Samla liknande termer steg för steg

Sortera med tecknen kvar

Förenkla `5a - 2b + 7 - 3a + 6b - 10`. Sortera: `5a - 3a - 2b + 6b + 7 - 10`. När du flyttar en term måste dess plus- eller minustecken följa med.

Beräkna varje grupp

`5a - 3a = 2a`, `-2b + 6b = 4b` och `7 - 10 = -3`. Därför är svaret `2a + 4b - 3`. Varje grupp har samma variabeldel, eller ingen variabel alls.

Fällan: olika variabeldelar

`5a - 2b` kan inte bli `3a`, och `3x² + 4x` kan inte bli `7x²`. Bokstav, exponent och eventuella andra faktorer måste stämma för att termer ska vara liknande.

3. Parenteser och den distributiva lagen

Parentesen är en helhet

I `3(x + 4)` ska `3` påverka allt i parentesen. Att skriva `3x + 4` är fel, eftersom talet `4` också ingår i det som multipliceras med `3`.

Den distributiva lagen

`a(b + c) = ab + ac` och `a(b - c) = ab - ac`. Exempel: `3(x + 4) = 3x + 12`. Multiplicera faktorn utanför med varje term innanför.

Två riktningar

Från `3(x + 4)` till `3x + 12` multiplicerar du in. Från `3x + 12` till `3(x + 4)` bryter du ut. Uttrycken har samma värde för samma värde på `x`.

4. Tänk efter: vilket steg saknas?

Miniaktivitet

Förenkla uttrycket `4(2x - 3) + 5x` utan att titta på lösningen direkt.

Vilka två produkter måste du beräkna när du multiplicerar in `4`?
Vilken term får ett negativt tecken?
Vilka termer är sedan liknande?

Skriv gärna dina mellanled på papper. Kontrollera därefter:

`4(2x - 3) + 5x`

`= 8x - 12 + 5x`

`= 13x - 12`

Nyckeln är att `4 · (-3) = -12`. Om du får `8x + 12 + 5x` har minustecknet i parentesen tappats bort.

Snabb jämförelse

Jämför också `4(2x - 3)` med `4 - (2x - 3)`. I det första uttrycket finns multiplikation. I det andra står ett minustecken framför en parentes. Reglerna är därför olika. Det andra uttrycket behandlas i nästa steg.

5. Minus framför parentes: byt alla tecken

Minus betyder gånger minus ett

`-(a + b) = (-1)(a + b) = -a - b`. Ett minustecken före parentesen påverkar varje term i parentesen. Det är samma distributiva lag som vid vanlig inmultiplikation.

Arbetat exempel

`7 - (2x - 5) = 7 - 2x + 5 = 12 - 2x`. Termen `-5` byter tecken och blir `+5`, eftersom hela parentesen multipliceras med `-1`.

Plus är annorlunda

`5 + (x - 2) = 5 + x - 2`. Plus före parentes ändrar inget tecken. Fällan är att i `7 - (2x - 5)` ändra bara `2x`; även `-5` måste ändras.

6. Förenkla ett uttryck i rätt ordning

Multiplicera in och ta bort parentesen

`2(75 + 12g) - (30 + 4g) = 150 + 24g - 30 - 4g`. Faktorn `2` når båda termerna i första parentesen. Minuset före andra parentesen byter båda tecknen.

Samla efteråt

`150 + 24g - 30 - 4g = 24g - 4g + 150 - 30 = 20g + 120`. Först när parenteserna är borta ser du alla liknande termer tydligt.

Tolka och rimlighetskontrollera

Med `g = 1` ger originalet `140` och `20g + 120` också `140`. I modellen är `120` den fasta delen och `20g` den del som förändras med användningen.

7. Quiz: parenteser och tecken

Välj det korrekt förenklade uttrycket

Arbeta gärna med ett mellanled innan du väljer svar. Lägg särskilt märke till minustecknet framför parentesen.

Vad är den förenklade formen av `3x - (2x - 6) + 4`?

`x - 2`
`x + 10`
`5x - 2`
`x - 10`

Show Answer

Answer: B) `x + 10`

Minus framför parentes byter båda tecknen: `3x - 2x + 6 + 4`. Därefter är `3x - 2x = x` och `6 + 4 = 10`, alltså `x + 10`.

8. Bryt ut en faktor ur parentes

Skriv som en produkt

Att bryta ut går baklänges jämfört med inmultiplikation. `6x + 9 = 3(2x + 3)`, eftersom `3` är en faktor i både `6x` och `9`.

Tal och variabler kan brytas ut

`12x - 18 = 6(2x - 3)` och `x² + 5x = x(x + 5)`. Sök största gemensamma faktor för en kompakt form, men en mindre gemensam faktor är också algebraiskt korrekt.

Välj tecken med omsorg

`-4x + 8 = -4(x - 2)`. Kontrollera alltid genom att multiplicera in igen. Faktorn utanför måste ge tillbaka varje term, inklusive rätt plus- och minustecken.

9. Algebraisk kontroll genom substitution

Testa med ett tal

För att kontrollera `5(2x - 1) - 3(x + 4) = 7x - 17`, sätt `x = 2`. Beräkna både originalet och den förenklade formen helt separat.

Samma värde

Originalet ger `5·3 - 3·6 = -3`. Den förenklade formen ger `7·2 - 17 = -3`. Att båda ger samma värde är ett starkt praktiskt tecken på korrekt omskrivning.

Kontroll är inte ensam bevisning

Ett testvärde kan råka dölja ett fel. Prova gärna fler värden, till exempel `0` och `2`. De algebraiska lagarna motiverar omskrivningen; substitution hjälper dig att hitta slarvfel.

10. Begrepp att kunna

Vänd korten och återkalla definitionen innan du läser svaret.

Liknande termer: Termer med exakt samma variabeldel, till exempel `3x` och `-5x`. Deras koefficienter kan adderas eller subtraheras.
Koefficient: Talet som multipliceras med variabeln. I `-7x` är koefficienten `-7`.
Distributiva lagen: `a(b + c) = ab + ac` och `a(b - c) = ab - ac`.
Multiplicera in: Använd den distributiva lagen för att ta bort en parentes, exempelvis `4(x - 2) = 4x - 8`.
Minus framför parentes: Motsvarar multiplikation med `-1`; alla tecken i parentesen byts: `-(a - b) = -a + b`.
Bryta ut: Skriva ett uttryck som en produkt genom att ta ut en gemensam faktor, exempelvis `8x + 12 = 4(2x + 3)`.
Substitution: Att ersätta en variabel med ett tal för att beräkna eller kontrollera ett uttryck.

11. Slutquiz: hela kedjan

Välj uttrycket och kontrollera mentalt

Den här uppgiften kombinerar inmultiplikation, minus framför parentes och sammanfogning av liknande termer. Gör minst ett mellanled innan du väljer.

Vilket uttryck är likvärdigt med `2(3y + 4) - 3(y - 2) - y`?

`2y + 2`
`2y + 20`
`8y + 2`
`2y + 8`