SkarpChapter 17 of 30
Pythagoras sats och avstånd
En rätvinklig triangel gömmer ofta den längd som behövs för att lösa hela problemet. Pythagoras sats kopplas till diagonaler, koordinater, konstruktion och kontroll av rätvinklighet.
1. Hitta den dolda rätvinkliga triangeln
När passar satsen?
Pythagoras sats gäller endast rätvinkliga trianglar, alltså trianglar med en vinkel på exakt `90°`. Triangeln kan vara dold i en större figur eller situation.
Kateter
De två sidor som möts i den räta vinkeln kallas kateter. De är ofta ritade lodrätt och vågrätt, men deras riktning spelar ingen roll.
Hypotenusa
Hypotenusan ligger mitt emot den räta vinkeln. Den är alltid triangelns längsta sida. Börja alltid med att hitta den innan du räknar.
Dolda trianglar
En diagonal i en rektangel delar figuren i två rätvinkliga trianglar. Därför kan du använda satsen för att beräkna exempelvis en skärmdiagonal eller en genväg.
2. Formeln och vad den betyder
Grundformeln
Om `a` och `b` är kateter och `c` är hypotenusa gäller: `a² + b² = c²`. Hypotenusans kvadrat står ensam.
Kvadrera först
`5²` betyder `5 · 5`, alltså `25`. Formeln handlar om kvadrater av längder, inte om att addera sidlängderna direkt.
Ta roten sist
När hypotenusan söks räknar du först `a² + b²` och tar sedan kvadratroten: `c = √(a² + b²)`.
Arean bakom satsen
Tänk en kvadrat på varje sida. Arean på den största kvadraten, den på hypotenusan, är summan av areorna på de två andra.
3. Beräkna en okänd hypotenusa
Gör om figuren till en triangel
I en rektangel med sidorna `6 cm` och `8 cm` är diagonalen hypotenusan. Rektangelns vinkel visar att triangeln är rätvinklig.
Sätt in värden
`6² + 8² = c²` ger `36 + 64 = c²`. Kvadrera varje katet innan du adderar.
Lös ut längden
`36 + 64 = 100`, alltså `c² = 100`. Ta kvadratroten: `c = √100 = 10`.
Rimlighetskontroll
Svara 10 cm, inte `100 cm`. Hypotenusan ska vara längre än båda kateterna, vilket stämmer eftersom `10 > 8` och `10 > 6`.
4. Beräkna en okänd katet
Identifiera hypotenusan
Längden `13 m` är hypotenusan eftersom den är längst och ligger mitt emot den räta vinkeln. Den okända längden är en katet.
Räkna stegvis
`5² + b² = 13²` blir `25 + b² = 169`. Subtrahera `25` från båda leden: `b² = 144`.
Ta kvadratroten
`b = √144 = 12`. Alltså är den saknade kateten 12 m.
Vanliga fällor
Adderar du `13² + 5²` har du placerat hypotenusan fel. Skriv inte heller `-12 m`: en längd i en figur är positiv.
5. Sortera informationen före beräkningen
Tänk efter: vilken metod behövs?
För varje situation nedan: identifiera först hypotenusan och avgör sedan vad du behöver göra. Räkna gärna på papper innan du läser facit.
- En rätvinklig triangel har kateterna `9 cm` och `12 cm`. Vilket uttryck ger hypotenusan?
- En rätvinklig triangel har hypotenusan `10 cm` och en katet `6 cm`. Vilket uttryck ger den andra kateten?
- En triangel har sidorna `7 cm`, `24 cm` och `25 cm`. Ska du använda satsen för att beräkna en längd, eller omvändningen för att undersöka vinkeln?
Facit och resonemang
- `c = √(9² + 12²) = 15`. När hypotenusan saknas adderar du kateternas kvadrater.
- `b = √(10² - 6²) = 8`. När en katet saknas subtraherar du den kända katetens kvadrat från hypotenusans kvadrat.
- Alla tre sidor är kända. Jämför `7² + 24²` med `25²`. Detta är omvändningen av Pythagoras sats.
6. Snabbkontroll: hypotenusan
En rätvinklig triangel har kateterna `7 cm` och `24 cm`. Hur lång är hypotenusan?
Välj rätt svar.
- 17 cm
- 25 cm
- 31 cm
- 625 cm
Show Answer
Answer: B) 25 cm
`7² + 24² = 49 + 576 = 625`. Alltså är `c = √625 = 25 cm`. Alternativet `625 cm` förväxlar `c²` med `c`.
7. Omvändningen: kontrollera rät vinkel
När används omvändningen?
Använd den när alla tre sidor är kända och frågan gäller om triangeln har en rät vinkel. Den längsta sidan ska alltid vara `c`.
Jämför två värden
Beräkna `a² + b²` och `c²`. Om de är exakt lika är triangeln rätvinklig. Om de skiljer sig är den inte rätvinklig.
Exempel
`8² + 15² = 64 + 225 = 289` och `17² = 289`. Eftersom resultaten är lika är triangeln rätvinklig.
Konstruktion
Måtten `3`, `4` och `5` kan kontrollera ett rakt hörn i praktiken. Den räta vinkeln ligger mellan sidorna med längderna `3` och `4`.
8. Avstånd mellan punkter i koordinatsystem
Bygg en hjälptriangel
Mellan `A = (2, 1)` och `B = (8, 9)` blir förflyttningen `6` steg i x-led och `8` steg i y-led. Sträckan `AB` är hypotenusan.
Använd satsen
`AB = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10`. Avståndet är 10 längdenheter.
Avståndsformeln
`d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)`. Formeln är Pythagoras sats tillämpad på skillnader i x- och y-led.
Parenteser är viktiga
En differens kan bli negativ. Skriv `(-6)² = 36`, inte `-6²`, eftersom det senare kan tolkas som `-36`.
9. Verklighetsproblem: stege och säker kontroll
Översätt text till figur
Vägg och mark bildar den räta vinkeln. Stegen är den längsta sidan och alltså hypotenusan. Höjden på väggen är den okända kateten.
Ställ upp ekvationen
`h² + 1,4² = 5,0²` blir `h² + 1,96 = 25`. Därefter: `h² = 23,04`.
Beräkna höjden
`h = √23,04 = 4,8`. Stegen når 4,8 m upp på väggen.
Kontrollera modellen
Svaret ska ha enheten meter och vara kortare än `5,0 m`. Pythagoras sats fungerar här eftersom vägg och mark är vinkelräta.
10. Snabbkontroll: är triangeln rätvinklig?
En triangel har sidlängderna `9 cm`, `12 cm` och `16 cm`. Är triangeln rätvinklig?
Välj det korrekta resonemanget.
- Ja, eftersom `9 + 12 = 21` och `21 > 16`.
- Ja, eftersom `9² + 12² = 16²`.
- Nej, eftersom `9² + 12² = 225`, medan `16² = 256`.
- Nej, eftersom hypotenusan måste vara `12 cm`.
Show Answer
Answer: C) Nej, eftersom `9² + 12² = 225`, medan `16² = 256`.
Den längsta sidan är `16 cm`. Beräkna `9² + 12² = 81 + 144 = 225`, men `16² = 256`. Eftersom värdena inte är lika är triangeln inte rätvinklig.
11. Repetera nyckelbegreppen
Vänd korten och säg gärna formeln eller förklaringen högt innan du kontrollerar svaret. Svaga begrepp kan sedan återkomma i din repetitionskö.
- Rätvinklig triangel
- En triangel som har en vinkel på exakt `90°`.
- Katet
- En av de två sidor som möts i den räta vinkeln.
- Hypotenusa
- Sidan mitt emot den räta vinkeln. Den är alltid triangelns längsta sida.
- Pythagoras sats
- För en rätvinklig triangel gäller `a² + b² = c²`, där `c` är hypotenusan.
- Okänd katet
- Om `c` är hypotenusan och `a` är en känd katet: `b = √(c² - a²)`.
- Omvändningen av Pythagoras sats
- Om den längsta sidan uppfyller `a² + b² = c²` är triangeln rätvinklig.
- Avstånd i koordinatsystem
- `d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)`. Skillnaderna i x- och y-led är kateter.
Key Terms
- katet
- En av de två sidor som bildar den räta vinkeln i en rätvinklig triangel.
- hypotenusa
- Sidan mitt emot den räta vinkeln; den längsta sidan i en rätvinklig triangel.
- Pythagoras sats
- Sambandet a² + b² = c² för en rätvinklig triangel, där c är hypotenusan.
- koordinatavstånd
- Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem, beräknat med skillnader i x-led och y-led som kateter.
- rätvinklig triangel
- En triangel med en vinkel som är exakt 90 grader.
- omvändningen av Pythagoras sats
- Metoden att avgöra om en triangel är rätvinklig genom att kontrollera om summan av de två kortare sidornas kvadrater är lika med den längsta sidans kvadrat.