En del av en linje med två ändpunkter och bestämd längd.

Två linjer eller sträckor som möts i en rät vinkel, 90°.

Linjer i samma plan som aldrig möts.

Sidan mitt emot den räta vinkeln i en rätvinklig triangel.

En polygon där alla sidor är lika långa och alla inre vinklar är lika stora.

Ett rakt geometriskt objekt som fortsätter oändligt åt båda håll.

Ett exakt läge utan längd, bredd eller area.

Avståndet från en cirkels medelpunkt till cirkeln.

Geometriska objekt, vinklar och konstruktioner — Matematiklyftet åk 9 – komplett träning inför nationella provet

Q: En regelbunden sexhörning har sex lika stora inre vinklar. Hur stor är varje vinkel?

120°. En sexhörnings vinkelsumma är `(6 - 2) · 180° = 720°`. Eftersom sexhörningen är regelbunden är alla vinklar lika stora: `720° / 6 = 120°`.

Q: En pyramid har en kvadratisk bas med sidan 6 cm och en vinkelrät höjd på 10 cm. Vilken volym har pyramiden?

120 cm³. Basytans area är `B = 6 · 6 = 36 cm²`. Pyramidens volym är `V = B · h / 3 = 36 · 10 / 3 = 120 cm³`. Alternativet 360 cm³ glömmer divisionen med 3.

1. Geometrins byggstenar

Punkt, linje, sträcka och stråle

En punkt visar ett läge. En linje fortsätter oändligt åt två håll. En sträcka har två ändpunkter. En stråle har en startpunkt och fortsätter oändligt åt ett håll.

Relationer mellan linjer

Parallella linjer ligger i samma plan och möts aldrig. Vinkelräta linjer skär varandra i 90°. Skriv `l ∥ m` för parallella och `l ⊥ m` för vinkelräta linjer.

Lita på informationen

En figur är inte alltid skalenligt ritad. Lita på angivna mått och markeringar: pilar visar parallellitet, en liten kvadrat visar 90° och streck visar lika långa sträckor.

2. Vinklar och vinkelrelationer

Klassificera vinklar

Spetsig: 0° till 90°. Rät: 90°. Trubbig: 90° till 180°. Rak: 180°. Reflex: 180° till 360°. Ett helt varv är 360°.

Två grundsummor

Vinklar längs en rak linje har summan 180°. Vinklar runt en punkt har summan 360°. Dessa regler fungerar även när figuren är sned eller inte är ritad i skala.

Korsande och parallella linjer

Vid korsande linjer är vertikalvinklar lika stora. När parallella linjer skärs av en transversal är likbelägna vinklar lika stora. Använd markeringarna för parallellitet.

3. Trianglar: egenskaper och beräkningar

Triangelns säkra regel

I varje triangel är summan av de inre vinklarna 180°. Det gäller oavsett triangelns form och storlek.

Tre sorters sidor

Likbent: minst två lika långa sidor och lika stora basvinklar. Liksidig: tre lika långa sidor och tre vinklar på 60°. Oliksidig: inga lika långa sidor.

Beräkna stegvis

För 47°, 68° och `x`: `47 + 68 + x = 180`. Alltså `x = 180 - 115 = 65°`. Klassificera därefter med hjälp av de beräknade vinklarna, inte hur figuren ser ut.

4. Fyrhörningar och polygoner

Polygonernas vinkelsumma

För en polygon med `n` hörn är vinkelsumman `(n - 2) · 180°`. En fyrhörning har därför vinkelsumman 360°, medan en femhörning har 540°.

Fyrhörningar

En parallellogram har två par parallella sidor. En rektangel har fyra räta vinklar. En romb har fyra lika långa sidor. En kvadrat är både rektangel och romb.

Regelbunden polygon

I en regelbunden polygon är alla sidor och vinklar lika stora. För en regelbunden femhörning blir varje inre vinkel `540° / 5 = 108°`.

5. Cirklar, symmetri och skala

Cirkelns delar

Radien går från medelpunkten till cirkeln. Diametern går genom medelpunkten och är dubbelt så lång: `d = 2r`. En korda förbinder två punkter på cirkeln.

Omkrets och area

Cirkelns omkrets är `O = 2πr` eller `πd`. Arean är `A = πr²`. Kvadraten i formeln betyder att om radien fördubblas blir arean fyra gånger så stor.

Symmetri och skala

Spegelsymmetri använder en symmetrilinje. Rotationssymmetri beskriver en vridning som ger samma figur. Vid skala 1:100 motsvarar 1 cm på ritningen 100 cm i verkligheten.

6. Snabbkontroll: vinklar och polygoner

Välj det mest precisa svaret. Räkna med egenskaperna, inte med hur figuren kan tänkas vara ritad.

En regelbunden sexhörning har sex lika stora inre vinklar. Hur stor är varje vinkel?

60°
90°
120°
180°

Show Answer

Answer: C) 120°

En sexhörnings vinkelsumma är `(6 - 2) · 180° = 720°`. Eftersom sexhörningen är regelbunden är alla vinklar lika stora: `720° / 6 = 120°`.

7. Tredimensionella kroppar

Prisma och pyramid

Ett prisma har två parallella, lika stora basytor: `V = B · h`. En pyramid har en bas och en spets: `V = B · h / 3`. Höjden ska vara vinkelrät mot basen.

Runda kroppar

Cylinder: `V = πr²h`. Kon: `V = πr²h / 3`. Klot: `V = 4πr³ / 3`. Radien måste användas, inte diametern, om formeln innehåller `r`.

Enheter avslöjar fel

Längd mäts i exempelvis cm, area i cm² och volym i cm³. En cylinder med `r = 3` cm och `h = 10` cm har volymen `90π ≈ 283 cm³`.

8. Konstruktioner med passare, linjal och digitala verktyg

Varför konstruera?

En konstruktion ska vara exakt och möjlig att motivera. Passaren överför längder och ritar bågar. Linjalen används för raka linjer. Digitala verktyg låser fast geometriska egenskaper.

Mittpunkt: bågar från A och B

Rita bågar med samma radie från A och B. Låt dem skära varandra i P och Q. Dra `PQ`. Skärningen mellan `PQ` och `AB` är mittpunkten M.

Motivering

P och Q har lika långt till A som till B, eftersom bågarna ritades med samma radie. Därför är linjen `PQ` mittpunktsnormal till `AB`: den delar sträckan i två lika delar och är vinkelrät.

Digital kontroll

I ett dynamiskt geometriprogram ska du använda kommandon som vinkelrät linje, mittpunkt och parallell linje. Dra sedan i en ursprungspunkt: egenskapen ska finnas kvar.

9. Undersök en konstruktion

Gör själv

Du har sträckan `AB = 8 cm` och har konstruerat mittpunktsnormalen. Välj sedan en godtycklig punkt P på mittpunktsnormalen.

Förutsäg relationen mellan `PA` och `PB`.
Kontrollera med passare eller ett digitalt avståndsverktyg.
Flytta P längs mittpunktsnormalen. Vad förändras och vad är oförändrat?
Flytta P bort från mittpunktsnormalen. Gäller relationen fortfarande?

Facit att jämföra med: För varje punkt P på mittpunktsnormalen gäller `PA = PB`. När P flyttas längs linjen ändras oftast båda avstånden, men de är fortfarande lika stora. Flyttas P bort från linjen finns det normalt ingen garanti att avstånden är lika.

Detta är en viktig idé i konstruktioner: en linje kan beskrivas som mängden av alla punkter som uppfyller en viss egenskap. Mittpunktsnormalen är mängden av alla punkter med samma avstånd till A och B.

10. Begrepp att kunna snabbt

Vänd korten och säg definitionen med egna ord innan du läser svaret.

Sträcka: En del av en linje med två ändpunkter och bestämd längd.
Vinkelrät: Två linjer eller sträckor som möts i en rät vinkel, 90°.
Parallell: Linjer i samma plan som aldrig möts.
Hypotenusa: Sidan mitt emot den räta vinkeln i en rätvinklig triangel.
Regelbunden polygon: En polygon där alla sidor är lika långa och alla inre vinklar är lika stora.
Diameter: En korda genom cirkelns medelpunkt. Diametern är dubbelt så lång som radien.
Prisma: En kropp med två parallella och kongruenta basytor.
Mittpunktsnormal: En linje som är vinkelrät mot en sträcka i dess mittpunkt. Varje punkt på linjen har lika långt till sträckans ändpunkter.

11. Avslutande provuppgift

Lös uppgiften metodiskt. Identifiera först kroppens formel och kontrollera därefter enheten. Den här typen av koppling mellan egenskaper, formel och tolkning är central i geometriuppgifter.

En pyramid har en kvadratisk bas med sidan 6 cm och en vinkelrät höjd på 10 cm. Vilken volym har pyramiden?

120 cm³
360 cm³
180 cm³
60 cm³