SkarpChapter 8 of 30
Likhetstecknet, variabler och algebraiska uttryck
Likhetstecknet beskriver en balans, inte bara platsen där svaret skrivs. Variabler och uttryck gör det möjligt att beskriva okända tal och generella samband med precision.
1. Likhetstecknet betyder balans
Likhet är ett påstående
Likhetstecknet `=` betyder att vänsterledet och högerledet har samma värde. Läs `8 + 5 = 13` som "8 plus 5 har samma värde som 13", inte som "svaret kommer nu".
Balansvågen
Se likheten som en balansvåg: `8 + 5` på ena sidan och `13` på den andra. Båda har värdet 13. Därför är även `13 = 8 + 5` sant.
Pröva båda leden
Beräkna båda sidor. `3 + 9 = 2 + 10` är sann eftersom båda leden är 12. `18 - 7 = 10` är falsk: vänsterledet är 11, högerledet 10.
2. Ekvivalens: olika form, samma värde
Ekvivalent betyder alltid lika
Två uttryck är ekvivalenta om de har samma värde för alla tillåtna variabelvärden. De kan ha olika form men beskriver ändå samma matematiska samband.
Exempel med parentes
`3(x + 4) = 3x + 12`, eftersom `3` multipliceras med båda termerna i parentesen: `3 · x + 3 · 4`. Uttrycken är ekvivalenta.
En kontroll räcker inte
`2x + 6` och `3x + 2` blir båda 14 när `x = 4`, men inte när `x = 1`. De är därför inte ekvivalenta. Samma värde en gång är inte samma sak som alltid.
3. Balansverkstad
Gör först utan att titta på lösningen
Avgör om varje likhet är sann eller falsk. Beräkna vänsterled och högerled var för sig.
- `6 + 14 = 4 · 5`
- `5(2 + 1) = 5 · 2 + 1`
- `18 / 3 = 2 + 4`
- `2a + 2a = 4a`
Facit och resonemang
- Sann. Båda leden har värdet 20.
- Falsk. Vänsterledet är `5 · 3 = 15`. Högerledet är `10 + 1 = 11`. Felet är att 5 måste multipliceras med både 2 och 1: `5(2 + 1) = 5 · 2 + 5 · 1`.
- Sann. Båda leden är 6.
- Sann. Termerna är likartade, så koefficienterna adderas: `2a + 2a = (2 + 2)a = 4a`.
Markera särskilt uppgift 2. Att glömma en term vid multiplikation in i en parentes är en vanlig provfälla. Använd balansidén: om två former påstås vara lika måste de ge samma värde.
4. Variabler och konstanter
Vad är en variabel?
En variabel representeras ofta av en bokstav och kan anta olika talvärden. I `x + 7` kan `x` exempelvis vara 3 eller -2. Variabeln är inte alltid "ett tal man ska hitta".
Variabler i formler
I `A = l · b` kan `l` vara längd och `b` bredd. Variabler beskriver storheter som kan förändras. Bokstäver gör därför generella samband möjliga att skriva kort.
Konstanter
En konstant har ett fast värde i situationen. I taximodellen `45 + 12x` är 45 startavgiften, 12 priset per kilometer och `x` antalet kilometer.
5. Term, faktor och koefficient
Termer
I `-3x + 5y - 8` är termerna `-3x`, `5y` och `-8`. Plus och minus delar upp uttrycket. Minustecknet ska följa med termen som kommer efter.
Faktorer
Faktorer multipliceras. I `-3x` är `-3` och `x` faktorer. I `4ab` är 4, `a` och `b` faktorer. Multiplikationstecknet utelämnas ofta i algebra.
Koefficienter och likartade termer
Koefficienten i `-3x` är -3; i `x` är den 1. `3x + 4x = 7x`, men `3x + 4` kan inte förenklas eftersom termerna inte är likartade.
6. Snabbtest: begreppen
Välj det alternativ som beskriver uttrycket korrekt.
Vilket påstående om `-5a + 2` är korrekt?
- Uttrycket har två termer, och koefficienten till `a` är -5.
- Uttrycket har en term, och konstanten är -5.
- Uttrycket har två faktorer: `-5a` och `2`.
- Koefficienten till `a` är 5, eftersom minustecknet inte räknas.
Show Answer
Answer: A) Uttrycket har två termer, och koefficienten till `a` är -5.
Termerna är `-5a` och `2`. Den numeriska faktor som multipliceras med `a` är -5, så koefficienten är -5. Minustecknet är en del av talet.
7. Från ord till algebra
Bestäm variabeln
Låt exempelvis `x` stå för "ett tal". "Sju mer än ett tal" blir `x + 7`, medan "sju mindre än ett tal" blir `x - 7`.
Ordföljden spelar roll
"Ett tal minskat med sju" är `x - 7`. "Sju minskat med ett tal" är `7 - x`. Prova `x = 3`: uttrycken ger -4 respektive 4.
Modellera en kostnad
89 kr per månad och 49 kr per film ger `89 + 49f`, där `f` är antal filmer. Kom ihåg: `2n` är dubbelt, medan `n²` är `n · n`.
8. Uttryckets värde: sätt in och beräkna
Uttryckets värde
Ett uttryck som `4x - 3` har inget likhetstecken. Dess värde får du när du sätter in ett givet värde på variabeln och följer vanliga prioriteringsregler.
Exempel: positivt värde
När `x = 6`: `4x - 3 = 4(6) - 3 = 24 - 3 = 21`. Sätt gärna parentes kring det insatta värdet; det gör beräkningen tydligare.
Exempel: negativt värde
När `x = -2`: `2x² + 3x - 1 = 2(-2)² + 3(-2) - 1 = 1`. Parentesen är viktig: `(-2)² = 4`, medan `-2² = -4`.
9. Beräkna uttryckets värde
Räkna noggrant och använd parentes när du sätter in negativa värden.
Vilket är värdet av `3p - 2p²` när `p = -3`?
- -27
- -9
- 9
- 27
Show Answer
Answer: A) -27
Sätt in med parentes: `3(-3) - 2(-3)² = -9 - 2 · 9 = -9 - 18 = -27`. Ett vanligt fel är att behandla `(-3)²` som -9.
10. Förenkla uttryck utan att ändra värdet
Samla likartade termer
`6x + 2 - 4x + 9 = 2x + 11`. Termer med samma variabeldel kan kombineras, och konstanter kan kombineras med andra konstanter.
Minus framför parentes
`5x - (2x - 7) = 5x - 2x + 7 = 3x + 7`. Minustecknet framför parentesen byter tecken på alla termer i parentesen.
Förenkla inte olika termer
`x + x²` kan inte bli `2x²`, eftersom `x` och `x²` inte är likartade. Sätt in `x = 2` för att kontrollera: 6 är inte lika med 8.
11. Repetera nyckelorden
Vänd korten och formulera gärna en egen mening eller ett eget exempel till varje begrepp.
- Likhetstecken
- `=` betyder att vänsterledet och högerledet har samma värde.
- Ekvivalenta uttryck
- Uttryck som har samma värde för alla tillåtna värden på sina variabler.
- Variabel
- En symbol, ofta en bokstav, som representerar ett tal eller en storhet som kan variera.
- Konstant
- Ett fast tal i ett uttryck eller en modell, till exempel 9 i `4x + 9`.
- Term
- En del av ett uttryck som skiljs från andra delar av plus eller minus. I `3x - 5` är termerna `3x` och `-5`.
- Faktor
- Något som multipliceras med något annat. I `4xy` är 4, `x` och `y` faktorer.
- Koefficient
- Den numeriska faktor som hör till en variabel. I `-6x` är koefficienten -6.
- Uttryckets värde
- Det tal du får när givna variabelvärden sätts in i ett uttryck och beräkningen genomförs.
Key Terms
- term
- En del av ett uttryck som avgränsas av plus eller minus.
- faktor
- En del i en multiplikation.
- likhet
- Ett påstående om att två uttryck har samma värde.
- konstant
- Ett fast tal i ett uttryck eller en modell.
- variabel
- En bokstav eller symbol som representerar ett tal eller en föränderlig storhet.
- högerled
- Uttrycket till höger om likhetstecknet.
- ekvivalens
- Att två uttryck har samma värde för alla tillåtna variabelvärden.
- koefficient
- Den numeriska faktor som multipliceras med en variabel.
- vänsterled
- Uttrycket till vänster om likhetstecknet.
- uttryckets värde
- Resultatet när givna variabelvärden sätts in och uttrycket beräknas.
- algebraiskt uttryck
- En matematisk skrivning med tal, variabler och räknesätt, vanligtvis utan likhetstecken.