SkarpChapter 19 of 30
Skala, likformighet och kongruens
När en figur förstoras förändras längd, area och volym på olika sätt. Likformighet och kongruens används för att hitta saknade mått och avgöra exakt vilka geometriska egenskaper som bevaras.
1. Skala: samma form, ny storlek
Vad betyder 1:50?
Skalan `1:50` betyder att 1 cm på ritningen motsvarar 50 cm i verkligheten. Förhållandet skrivs alltid ritning : verklighet.
Välj räknesätt med ord
Från ritning till verklighet multiplicerar du med `50`. Från verklighet till ritning dividerar du med `50`. Skriv riktningen före beräkningen.
Skalfaktorn k
En förstoring med `k = 3` tredubblar varje längd. En förminskning med `k = 0,4` gör varje längd till 40 % av ursprungsmåttet.
Viktig avgränsning
Skalan jämför motsvarande längder. Längdskalan kan inte användas oförändrad för area eller volym; där ska faktorn upphöjas.
2. Från planritning till verkliga mått
Uppgiften
På ritningen är rummet `8,4 cm × 6,0 cm`. Skalan är `1:50`. Vi ska först översätta båda ritningslängderna till verkligheten.
Översätt längderna
`8,4 · 50 = 420 cm = 4,20 m` och `6,0 · 50 = 300 cm = 3,00 m`. Enhetsbytet från centimeter till meter görs efteråt.
Beräkna arean
Verklig golvarea är `4,20 · 3,00 = 12,6 m²`. Beräkna längderna först om det gör sambandet lättare att se.
Alternativ kontroll
Areaskalan är `50² = 2 500`, inte `50`. Ritningsarean `50,4 cm²` blir därför `126 000 cm²`, alltså `12,6 m²`.
3. Längdskala, areaskala och volymskala
Tre skalor - tre olika effekter
Låt `k` vara längdskalan från en ursprungsfigur till en ny figur.
- Längdskala: `k`
- Areaskala: `k²`
- Volymskala: `k³`
Orsaken är antalet dimensioner. En rektangels area består av två längder: `längd · bredd`. Om båda blir `k` gånger större, blir produkten `k · k = k²` gånger större. En rätblocksvolym består av tre längder: `längd · bredd · höjd`, och förändras därför med `k³`.
Exempel: En kub får sidlängden dubbelt så stor, alltså `k = 2`.
- sidlängden blir `2` gånger större
- varje sidoyta får arean `2² = 4` gånger större
- volymen blir `2³ = 8` gånger större
Vid förminskning fungerar samma regler. Om `k = 1/2`, blir areaskalan `(1/2)² = 1/4` och volymskalan `(1/2)³ = 1/8`.
En central provfälla är språket